Movimento Browniano e sua conexão com série de Fourier e Wavelets

Este estudo explora as relações intrincadas entre o movimento browniano, séries de Fourier e construções de wavelets. O movimento browniano, um pilar nos processos estocásticos, possui uma conexão profunda com as séries de
Fourier através de sua representação no cálculo estocástico. Utilizando o teorema de Karhunen–Loève, demonstramos como as séries de Fourier fornecem uma estrutura fundamental para expressar as propriedades gaussianas das trajetórias brownianas. Adicionalmente, investigamos a construção do movimento browniano via sequências de wavelets, um método que aproveita as capacidades localizadas e de multi-resolução das wavelets, oferecendo uma abordagem inovadora para modelar processos estocásticos. Essa integração não apenas aprimora o entendimento das propriedades matemáticas do movimento browniano, mas também oferece um conjunto abrangente de ferramentas para analisar seu comportamento através de diferentes lentes matemáticas. A convergência dessas metodologias sustenta avanços potenciais nos campos de modelagem financeira, processamento de sinais e além.